Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor. Nach seiner Definition ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen". Die von Cantor eingeführte naive Mengenlehre führte jedoch schon bald zu unlösbaren Widersprüchen (Russellsche Antinomie).

Die axiomatische Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) verzichtet darum auf eine Definition der Menge und benutzt ihn als Grundbegriff. Eine Menge wird durch die Angabe aller Elemente bzw. ihrer Grund Merkmale festgelegt. Die einzige Grundrelation ist (gesprochen Element von), z.B. x M, wenn x als Element in M enthalten ist. In vielen Beschreibungen dieser Enzyklopädie benutzen wir die Schreibweise "x in M" oder "x aus M", ab und zu auch das HTML-Zeichen ∈, welches jedoch von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt wird.

Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.

Schnittmenge: Die Menge aller roten Figuren geschnitten mit der Menge aller Kreise ergibt die roten Kreise

In den 1970er Jahren wurde die Mengenlehre in die Grundschulen eingeführt, nach wenigen Jahren aber zugunsten des traditionellen Rechenunterrichts wieder abgeschafft. Siehe dazu die Beschreibung "Neue Mathematik".

Seien A,B beliebige Teilmengen der Menge .

• Teilmenge (auch Inklusion): (B ist Teilmenge von A), wenn jedes Element von B auch Element von A ist, d.h. B ist enthalten in oder gleich A. In Zeichen: . Üblich ist auch die Schreibweise

• Echte Teilmenge: (B ist echte Teilmenge von A), wenn die Menge B enthalten in und ungleich A ist. Bsp.:
  Um Missverständnisse, die durch gelegentliche unterschiedliche Definitionen des Begriffs Teilmenge entstehen, sicher auszuschließen, ist auch die Schreibweise gebräuchlich.

• Schnittmenge: (A geschnitten mit B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

• Vereinigungsmenge: (A vereinigt mit B) ist die Menge der Elemente, die in A oder in B oder beiden Mengen liegen.

• Komplement von A in : , die Menge aller Elemente, die nicht in A liegen.
  Wird auch als , A^C oder A^' geschrieben.

• Differenzmenge: (A ohne B) ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B

• symmetrische Differenz: ist die Menge aller Elemente, die in einer aber nicht in beiden der gegebenen Mengen liegen

• Leere Menge: Die leere Menge enthält kein Element und wird mit oder auch {} genannt.

• Potenzmenge: Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von A.

Die Mengen-Operationen Schnitt und Vereinigung sind zueinander kommutativ, assoziativ als auch distributiv.

• Kommutativgesetz: ,

• Assoziativgesetz: ,

• Distributivgesetz: ,

• De Morgansche Gesetze: ,

Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

• Kommutativgesetz:

• Assoziativgesetz:

Die Algebra der Mengen ist eine so genannte Boolesche Algebra.

Siehe auch: Universum (Mathematik)

• Mathematical Atlas Artikel (http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/03EXX.html)
• PlanetMath Artikel (http://planetmath.org/encyclopedia/SetTheory.html)
• Mathe Online (http://www.mathe-online.at/mathint/mengen/i.html)
• http://plaz.upb.de/lehrerbildung/plan/plan.php?id=sw0306